十一、行船问题

【含义】

行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度（顺水速度）是船速与水速之和；船只逆水航行的速度（逆水速度）是船速与水速之差。

【水量关系】

（顺水速度＋逆水速度）÷2=船速

（顺水速度－逆水速度）÷2=水速

顺水速=船速×2－逆水速=逆水速＋水速×2

逆水速=船速×2－顺水速=顺水速－水速×2

【解题思路和方法】

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

【例题】

1、一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几个小时？

解：  顺水速=船速＋水速=320÷8

      每小时船速？     320÷8－15=25千米

      船的逆水速度？   25－15=10千米

      船逆水行这段路程的时间？ 320÷10=32小时

答：这只船逆水行这段路程需要32小时

2、一架飞机飞行在两个城市之际，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时？

解：  两城相距多少千米？   （576－24）×3=1656千米

      顺风飞回需要多少小时？ 1656÷（576＋24）=2.76小时

      列成综合算式：[（576－24）×3]÷（576＋24）=2.76小时

答：顺风飞回需要2.76小时

十二、列车问题

【含义】

这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。

【数量关系】

火车过桥：过桥时间=（车长＋桥长）÷车速

火车追及：追及时间=（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）

火车相遇：相遇时间=（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）

【解题思路和方法】

大多数情况可以直接利用数量关系的公式

【例题】

1、一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？

（火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。）

解：  火车3分钟行多少米？  900×3=2700米

      这列火车长多少米？    900×3-2400=300米

答：这列火车长300米。

2、一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？

解：  火车过桥时间为2份5秒=125秒

      火车所走的路程？  8×125=1000米

      大桥长度？   1000－200=800米

答：大桥的长度为800米。

3、一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？

（车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。）

解：   火车车速每秒为多少？ （2000－1250）÷（88－58）＝25米

       车长和桥长的和为？   25×58=1450米

       车长为多少？    1450－1250=200米

答：这列火车的车速是每秒25米，车身长度是200米

十三、时钟问题

【含义】

就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。

【数量关系】

分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11/12。通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

【解题思路和方法】

变通为“追及问题”后可直接利用公式

【例题】

1、从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？

（钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。）

解：  分针追上时针的时间为？  20÷（1－1/12）≈22分

答：再经过约22分钟时针正好与分针重合。

2、六点与七点之间什么时候时针与分针重合？

（六点整的时候，分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。）

解：  （5×6）÷（1－1/12）≈ 33分

答：6点33分的时候分针与时针重合。

十四、盈亏问题

【含义】

根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】

一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：

参加分配总人数=（盈＋亏）÷分配差

如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总人数=（大盈－小盈）÷分配差

参加分配总人数=（大亏－小亏）÷分配差

【解题思路和方法】

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

【例题】

1、给幼儿园小朋友分苹果，若没人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少苹果？

解：  有小朋友多少人？  （11＋1）÷（4－3）=12人

      有多少苹果？   3×12＋11=47个

答：有小朋友12人，苹果47个。

2、学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好做完。问有多少车？多少人？

解：  有多少车？  （30－0）÷（45－40）=6辆

     有多少人？   40×6＋30=270人

答：有6辆车，共有270人。

十五、工程问题

【含义】

工程问题主要研究工作量、工作 效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题是，常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】

解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（他表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

工作量=工作效率×工作时间

工作时间=工作量÷工作效率

工作时间=总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

【解题思路和方法】

变通后可以利用上述数量关系的公式。

【例题】

1、一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？

（题中“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此工程看作单位“1”。由于甲队单独做需要10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需要15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合作，每天完成这项工作的1/10＋1/15）

解：  1÷（1/10＋1/15）=1÷1/6=6天

答：两队合作需要6天完成。

2、一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5个小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用两小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？

（注水、排水问题是一类特殊的工程问题。注水或排水相当于一项工程，谁的流量就是工作量，单位时间内水的流速就是工作效率。2小时要注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量“一池水”）

解：  设每个进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为1×4×5

      2个进水管15小时注水量为1×2×15

      每小时的排水量为  （1×2×15-1×4×5）÷（15－5）=1

      即一个排水管与每个进水管的工作效率相同

      一池水的总工作量为  1×4×5－1×5=15

      2小时内，每个进水管注水量为1×2

      2小时注满一池水至少需要多少个进水管？  （15＋1×2）÷（1×2）=8.5≈9个

答：2小时注满一池水至少需要9个进水管。

十六、正反比例问题

【含义】

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对于的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们关系叫做正比例关系。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

【数量关系】

判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。

【解题思路和方法】

解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

【例题】

1、孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如国每天看36页，几天就可以看完？

解：  书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比关系

      设：X天可以看完

         24:36=X：15

          36X=24×15

            X=10

答：10天就可以看完。

2、一个大矩形被分成6个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。

解：  由面积÷宽=长 可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。

     A：36=20:16

     25：B=20:16

     A=45  B=20

  大矩形面积？  45＋36＋25＋20＋20＋16=162

答：大矩形面积为162.

十七、按比例分配问题

【含义】

所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比例分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

【数量关系】

从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。

总份数=比的前后项之和

【解题思路和方法】

先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加后求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，把比的前后项分别做分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

【例题】

1、用60厘米长的铁丝围城一个三角形，三角形三条边的比是3:4:5.三条边的长各是多少厘米？

解：  3＋4＋5=12     

     60×3/12=15厘米  60×4/12=20厘米  60×5/12=25厘米

答：三条边长各是15、20、25厘米。

2、某工厂第一、二、三车间人数之比为8:12:21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？

解：  80÷（12－8）×（8＋12＋21）=820人

答：三个车间共820人。

十八、百分数问题

【含义】

百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%。

【数量关系】

掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系

百分数=比较量÷标准量

标准量=比较量÷百分数

【解题思路和方法】

（1）求一个数是另一个数的百分之几

（2）已知一个数，求它的百分之几是多少

（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数

【例题】

1、红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？

（本题中女职工为标准量，男职工比女职工少的是较量）

解：  （525－420）÷525=0.2=20%

     或1－420÷525=0.2=20%

答：男职工人数比女职工少20%。

2、红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？

解：  男职工占  420÷（420＋525）=0.444=44.4%

      女职工占  525÷（420＋525）=0.556=55.6%

答：男职工占全厂总数的44.4%，女职工占55.6%

十九、“牛吃草”问题

【含义】

牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫牛顿问题。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素

【数量关系】

草总量=原有草量＋草每天生长量×天数

【解题思路和方法】

解这类题的关键是求出草每天的生长量。

【例题】

1、一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以拔草吃完？

解：  设每头牛每天吃的草量为1

      20－10天内的草生长量？  1×10×20－1×15×10=50

      草每天的生长量？  50÷（20－10）=5

      原有草量？   1×15×10－5×10=100

      5天内草总量？  100＋5×5=125

      多少头牛5天吃完草？  125÷5=25头

答：需要5头牛5天可以把草吃完。

二十、鸡兔同笼问题

【含义】

这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】

第一鸡兔同笼问题

假设全是鸡，则有兔数=（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

假设全是兔，则有鸡数=（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）

第二鸡兔同笼问题：

假设全是鸡，则有兔数=（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

假设全是兔，则有鸡数=（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

【解题思路和方法】

解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后鸡换兔。这类问题也叫作置换问题，通过先假设，再置换，使问题得到解决。

【例题】

1、鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

解：  假设100只都是鸡，则 兔数=（2×100－80）÷（4＋2）=20只

      鸡数=100－20=80只

答：鸡有80只，兔有20只。

2、有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚三人吃1个馍，问大小和尚各多少人？

解：  假设全为大和尚，则小和尚=（3×100－100）÷（3－1/3）=75人

      大和尚=100－75=25人

答：共有大和尚25人，有小和尚75人。

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