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十一、行船问题
【含义】
行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度,船只顺水航行的速度(顺水速度)是船速与水速之和;船只逆水航行的速度(逆水速度)是船速与水速之差。
【水量关系】
(顺水速度+逆水速度)÷2=船速
(顺水速度-逆水速度)÷2=水速
顺水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2
逆水速=船速×2-顺水速=顺水速-水速×2
【解题思路和方法】
大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
【例题】
1、一只船顺水行320千米需用8小时,水流速度为每小时15千米,这只船逆水行这段路程需用几个小时?
解: 顺水速=船速+水速=320÷8
每小时船速? 320÷8-15=25千米
船的逆水速度? 25-15=10千米
船逆水行这段路程的时间? 320÷10=32小时
答:这只船逆水行这段路程需要32小时
2、一架飞机飞行在两个城市之际,飞机的速度是每小时576千米,风速为每小时24千米,飞机逆风飞行3小时到达,顺风飞回需要几小时?
解: 两城相距多少千米? (576-24)×3=1656千米
顺风飞回需要多少小时? 1656÷(576+24)=2.76小时
列成综合算式:[(576-24)×3]÷(576+24)=2.76小时
答:顺风飞回需要2.76小时
十二、列车问题
【含义】
这是与列车行驶有关的一些问题,解答时要注意列车车身的长度。
【数量关系】
火车过桥:过桥时间=(车长+桥长)÷车速
火车追及:追及时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速-乙车速)
火车相遇:相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速+乙车速)
【解题思路和方法】
大多数情况可以直接利用数量关系的公式
【例题】
1、一座大桥长2400米,一列火车以每分钟900米的速度通过大桥,从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米?
(火车3分钟所行的路程,就是桥长与火车车身长度的和。)
解: 火车3分钟行多少米? 900×3=2700米
这列火车长多少米? 900×3-2400=300米
答:这列火车长300米。
2、一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥,用了2分5秒钟时间,求大桥的长度是多少米?
解: 火车过桥时间为2份5秒=125秒
火车所走的路程? 8×125=1000米
大桥长度? 1000-200=800米
答:大桥的长度为800米。
3、一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒,以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少?
(车速和车长都没有变,但通过隧道和大桥所用的时间不同,是因为隧道比大桥长。)
解: 火车车速每秒为多少? (2000-1250)÷(88-58)=25米
车长和桥长的和为? 25×58=1450米
车长为多少? 1450-1250=200米
答:这列火车的车速是每秒25米,车身长度是200米
十三、时钟问题
【含义】
就是研究钟面上时针与分针关系的问题,如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。
【数量关系】
分针的速度是时针的12倍,二者的速度差为11/12。通常按追及问题来对待,也可以按差倍问题来计算。
【解题思路和方法】
变通为“追及问题”后可直接利用公式
【例题】
1、从时针指向4点开始,再经过多少分钟时针正好与分针重合?
(钟面的一周分为60格,分针每分钟走一格,每小时走60格;时针每小时走5格,每分钟走5/60=1/12格。每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12格。4点整,时针在前,分针在后,两针相距20格。)
解: 分针追上时针的时间为? 20÷(1-1/12)≈22分
答:再经过约22分钟时针正好与分针重合。
2、六点与七点之间什么时候时针与分针重合?
(六点整的时候,分针在时针后(5×6)格,分针要与时针重合,就得追上时针。这实际上是一个追及问题。)
解: (5×6)÷(1-1/12)≈ 33分
答:6点33分的时候分针与时针重合。
十四、盈亏问题
【含义】
根据一定的人数,分配一定的物品,在两次分配中,一次有余(盈),一次不足(亏),或两次都有余,或两次都不足,求人数或物品数,这类应用题叫做盈亏问题。
【数量关系】
一般地说,在两次分配中,如果一次盈,一次亏,则有:
参加分配总人数=(盈+亏)÷分配差
如果两次都盈或都亏,则有:
参加分配总人数=(大盈-小盈)÷分配差
参加分配总人数=(大亏-小亏)÷分配差
【解题思路和方法】
大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
【例题】
1、给幼儿园小朋友分苹果,若没人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少小朋友?有多少苹果?
解: 有小朋友多少人? (11+1)÷(4-3)=12人
有多少苹果? 3×12+11=47个
答:有小朋友12人,苹果47个。
2、学校组织春游,如果每辆车坐40人,就余下30人;如果每辆车坐45人,就刚好做完。问有多少车?多少人?
解: 有多少车? (30-0)÷(45-40)=6辆
有多少人? 40×6+30=270人
答:有6辆车,共有270人。
十五、工程问题
【含义】
工程问题主要研究工作量、工作 效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中,常常不给出工作量的具体数量,只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等,在解题是,常常用单位“1”表示工作总量。
【数量关系】
解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”,这样,工作效率就是工作时间的倒数(他表示单位时间内完成工作总量的几分之几),进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
工作量=工作效率×工作时间
工作时间=工作量÷工作效率
工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)
【解题思路和方法】
变通后可以利用上述数量关系的公式。
【例题】
1、一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要15天完成,现在两队合作,需要几天完成?
(题中“一项工程”是工作总量,由于没有给出这项工程的具体数量,因此,把此工程看作单位“1”。由于甲队单独做需要10天完成,那么每天完成这项工程的1/10;乙队单独做需要15天完成,每天完成这项工程的1/15;两队合作,每天完成这项工作的1/10+1/15)
解: 1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6天
答:两队合作需要6天完成。
2、一个水池,底部装有一个常开的排水管,上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时,需要5个小时才能注满水池;当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池;现在要用两小时将水池注满,至少要打开多少个进水管?
(注水、排水问题是一类特殊的工程问题。注水或排水相当于一项工程,谁的流量就是工作量,单位时间内水的流速就是工作效率。2小时要注满,即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量“一池水”)
解: 设每个进水管每小时注水量为1,则4个进水管5小时注水量为1×4×5
2个进水管15小时注水量为1×2×15
每小时的排水量为 (1×2×15-1×4×5)÷(15-5)=1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同
一池水的总工作量为 1×4×5-1×5=15
2小时内,每个进水管注水量为1×2
2小时注满一池水至少需要多少个进水管? (15+1×2)÷(1×2)=8.5≈9个
答:2小时注满一池水至少需要9个进水管。
十六、正反比例问题
【含义】
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对于的两个数的比的比值一定(即商一定),那么这两种量就叫做成正比例的量,它们关系叫做正比例关系。两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。
【数量关系】
判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决,而且比较简捷。
【解题思路和方法】
解决这类问题的重要方法是:把分率(倍数)转化为比,应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。
【例题】
1、孙亮看《十万个为什么》这本书,每天看24页,15天看完,如国每天看36页,几天就可以看完?
解: 书的页数一定,每天看的页数与需要的天数成反比关系
设:X天可以看完
24:36=X:15
36X=24×15
X=10
答:10天就可以看完。
2、一个大矩形被分成6个小矩形,其中四个小矩形的面积如图所示,求大矩形的面积。
解: 由面积÷宽=长 可知,当长一定时,面积与宽成正比,所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等,第二行三个小矩形的宽也相等。
A:36=20:16
25:B=20:16
A=45 B=20
大矩形面积? 45+36+25+20+20+16=162
答:大矩形面积为162.
十七、按比例分配问题
【含义】
所谓按比例分配,就是把一个数按照一定的比例分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式:一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数,另一种是直接给出份数。
【数量关系】
从条件看,已知总量和几个部分量的比;从问题看,求几个部分量各是多少。
总份数=比的前后项之和
【解题思路和方法】
先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几,把比的前后项相加后求出总份数,再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母,把比的前后项分别做分子),再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法,分别求出各部分量的值。
【例题】
1、用60厘米长的铁丝围城一个三角形,三角形三条边的比是3:4:5.三条边的长各是多少厘米?
解: 3+4+5=12
60×3/12=15厘米 60×4/12=20厘米 60×5/12=25厘米
答:三条边长各是15、20、25厘米。
2、某工厂第一、二、三车间人数之比为8:12:21,第一车间比第二车间少80人,三个车间共多少人?
解: 80÷(12-8)×(8+12+21)=820人
答:三个车间共820人。
十八、百分数问题
【含义】
百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分,而百分数则无需;分数既可以表示“率”,也可以表示“量”,而百分数只能表示“率”;分数的分子、分母必须是自然数,而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念,一个百分点就是1%。
【数量关系】
掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系
百分数=比较量÷标准量
标准量=比较量÷百分数
【解题思路和方法】
(1)求一个数是另一个数的百分之几
(2)已知一个数,求它的百分之几是多少
(3)已知一个数的百分之几是多少,求这个数
【例题】
1、红旗化工厂有男职工420人,女职工525人,男职工人数比女职工少百分之几?
(本题中女职工为标准量,男职工比女职工少的是较量)
解: (525-420)÷525=0.2=20%
或1-420÷525=0.2=20%
答:男职工人数比女职工少20%。
2、红旗化工厂有男职工420人,有女职工525人,男、女职工各占全厂职工总数的百分之几?
解: 男职工占 420÷(420+525)=0.444=44.4%
女职工占 525÷(420+525)=0.556=55.6%
答:男职工占全厂总数的44.4%,女职工占55.6%
十九、“牛吃草”问题
【含义】
牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫牛顿问题。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素
【数量关系】
草总量=原有草量+草每天生长量×天数
【解题思路和方法】
解这类题的关键是求出草每天的生长量。
【例题】
1、一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以拔草吃完?
解: 设每头牛每天吃的草量为1
20-10天内的草生长量? 1×10×20-1×15×10=50
草每天的生长量? 50÷(20-10)=5
原有草量? 1×15×10-5×10=100
5天内草总量? 100+5×5=125
多少头牛5天吃完草? 125÷5=25头
答:需要5头牛5天可以把草吃完。
二十、鸡兔同笼问题
【含义】
这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问题,叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差,求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】
第一鸡兔同笼问题
假设全是鸡,则有兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)
假设全是兔,则有鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)
第二鸡兔同笼问题:
假设全是鸡,则有兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)
假设全是兔,则有鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)
【解题思路和方法】
解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔。如果假设都是鸡,然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后鸡换兔。这类问题也叫作置换问题,通过先假设,再置换,使问题得到解决。
【例题】
1、鸡兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?
解: 假设100只都是鸡,则 兔数=(2×100-80)÷(4+2)=20只
鸡数=100-20=80只
答:鸡有80只,兔有20只。
2、有100个馍100个和尚吃,大和尚一人吃3个馍,小和尚三人吃1个馍,问大小和尚各多少人?
解: 假设全为大和尚,则小和尚=(3×100-100)÷(3-1/3)=75人
大和尚=100-75=25人
答:共有大和尚25人,有小和尚75人。